Lucas-Kanade 算法

王 琳 (wanglin193@http://www.wendangxiazai.com)

一 预备知识

1泰勒展开 Taylor expansion

(标量)函数f(X)在X=X0附近的一阶泰勒展开式为

f(X0+ X)≈f(X0)+ X

变量X可以是n维矢量X=(x0, x1,…xn)，则df/dX为梯度矢量

dfdX

X=X0

df dfdfdf

,,...， = dX dx0dx1dxn

另外，如果f(X)是m维矢量函数，则得到所谓Jacobian矩阵

df0

dxdf 0

= ...dX dfm

dx 0df0 dxn ......

dfm ...

dxn

...

2 复合函数链式复合函数链式求导链式求导法则求导法则 Chain rule

在函数f对变量t求导数的时候，有时f和t关系是通过中间变量x,y联系起来的,f=f(x,y), x=x(t),y=y(t).，那么df/dt由下式表示（<,>表示内积）：

f f x y df f x f y

=+= , , , dt x t y t x y t t

二L-K算法

目的是用一组参数p从一个图像区域（patch）采样I(x)，和模板T(x)进行匹配，使得误差最小

E=

∑[I(W(X;p)) T(x)]

patch

2

其中W(X:p)是以矢量p为参数表达的image warping，实际上可以理解为坐标变换，以决定在图像I上采样点坐标。比如仿射变换(Affine transform），这个W(X:p)得到新的坐标点(x’,y’)表达为

x' x xp1+yp3+p5

W(X;p)= = +

y' y xp2+yp4+p6

， x

p3p5 1+p1

= y p1+pp46 2

1

关于这个公式需要说明：

6个参数的仿射变换，需要至少3个对应点。

4个参数的相似变换只表达变比和旋转，需要至少2个对应点：